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本文尝试不依靠高等数学的结论，仅利用初等数学知识辅以无穷小分析的思想来解释循环与1的关系。希望大家可以提出问题意见并予以批评指正。
先阐述"循环"的性质:(1)是一种称为“无限循环小数”的表示数的符号，是指小数点后有无数个9(用牛顿的话讲就是“要多少个9就有多少个9”);(2)是一个数，和任何其他实数一样，是确定的数，不是一个极限运算。为方便叙述，同时强调循环的符号性和常数性，设A=循环。下面分三步证明：一、首先构造数列a(n)=...(小数点后n个9)，显然有:"任取正整数N,有a(N)＜A"(因为前者小数点后只有有限个9，后者是无限个9;也可以根据小数比大小规则，比较小数点后第N+1位0＜9同样得出该结论)从而有:"不等式丨A-1丨＜丨a(N)–1丨对于一切确定的正整数N都成立"二、下面将证明:"任取ε＞0(ε是一个变量，是用来衡量无穷小的指标，可以取任何正数)，均有丨A-1丨＜ε"，分5小步证明：①对任意确定的正数ε，必存在正数S，使得εS＞1.(可以知道S是一个由ε决定的正数，取定一个ε，就可以找到至少一个与之对应的S，这是实数的阿基米德性得出的)②我们知道y=10^x这个函数的值域为(0,+∞)，显然①中的S在该值域中，不妨设10^p=S,于是取正整数N=[p]+1，([]是取整函数，表示取p的整数部分)，又由y=10^x的单调性得出10^N≥10^p=S.③由①②并结合不等式的运算性质，有ε＞1/S=1/(10^p)＞1/(10^N)④按照之前数列a(n)的定义，a(N)=(小数点后有N个9)，于是丨a(N)–1丨=...01(小数点后有(N-1)个0然后是一个1)=1/(10^N)⑤我们已经在第一步证明了“不等式丨A-1丨＜丨a(N)–1丨对于一切确定的正整数N都成立”，那么由③④得出连不等式丨A-1丨＜丨a(N)–1丨=1/(10^N)＜ε三、丨A-1丨是两个确定的数的差的绝对值，一定是一个定值。又因为绝对值有非负性，即丨A-1丨≥0假设丨A-1丨＞0，可以设丨A-1丨=δ＞0于是可以取ε=δ/2＞0(之前有说明ε可以取任意正数，所以当然可以取δ/2)，那么有丨A-1丨=δ＞δ/2=ε，这与之前证明的丨A-1丨＜ε矛盾，于是假设不成立，只能是丨A-1丨=0，解得A=1.
